【标准正态分布的公式】在统计学中，标准正态分布是正态分布的一个特例，其均值为0，标准差为1。它在概率论、统计推断和数据分析中具有重要的理论和应用价值。标准正态分布的数学表达式是研究随机变量分布特性的重要工具。
一、标准正态分布的基本概念
标准正态分布（Standard Normal Distribution）是一种连续概率分布，记作 $ Z \sim N(0, 1) $。它的概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）是统计分析中的基础内容。
二、标准正态分布的公式
1. 概率密度函数（PDF）
标准正态分布的概率密度函数为：
$$
f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}
$$
其中：
- $ z $ 是标准正态变量，取值范围为 $ (-\infty, +\infty) $
- $ \pi \approx 3.1416 $
- $ e \approx 2.71828 $
该函数描述了标准正态分布下各个取值的概率密度。
2. 累积分布函数（CDF）
标准正态分布的累积分布函数定义为：
$$
\Phi(z) = P(Z \leq z) = \int_{-\infty}^{z} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt
$$
该函数表示随机变量 $ Z $ 小于或等于某个值 $ z $ 的概率。
由于该积分无法用初等函数表示，通常通过查表或数值计算来获取具体值。
三、标准正态分布的性质
| 属性 | 描述 |
| 均值（μ） | 0 |
| 方差（σ²） | 1 |
| 标准差（σ） | 1 |
| 对称性 | 关于 y 轴对称 |
| 概率密度函数形状 | 钟形曲线，单峰 |
| 分布函数 | 从 0 到 1 递增 |
四、常用数值表（部分）
以下是一些常见的标准正态分布值及其对应的累积概率：
| z 值 | Φ(z) 值（P(Z ≤ z)） |
| -3.0 | 0.0013 |
| -2.5 | 0.0062 |
| -2.0 | 0.0228 |
| -1.96 | 0.0250 |
| -1.64 | 0.0505 |
| 0 | 0.5000 |
| 1.64 | 0.9495 |
| 1.96 | 0.9750 |
| 2.0 | 0.9772 |
| 2.5 | 0.9938 |
| 3.0 | 0.9987 |
这些数值常用于假设检验、置信区间计算等统计方法中。
五、总结
标准正态分布是统计学中最基本、最常用的分布之一。它的公式包括概率密度函数和累积分布函数，能够描述数据的集中趋势和离散程度。通过查阅标准正态分布表或使用统计软件，可以快速获得不同 z 值对应的概率，从而进行各种统计推断和分析。
掌握标准正态分布的公式和性质，对于理解和应用统计学知识至关重要。
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