【x的立方加y的立方公式推导】在数学中，多项式的因式分解是常见的问题之一。其中，“x³ + y³”是一个典型的立方和表达式，可以通过代数方法进行因式分解。本文将对“x³ + y³”的公式进行推导，并以与表格的形式呈现。
一、公式推导
我们从已知的立方和公式出发：
$$
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
$$
推导过程如下：
1. 假设：设 $ x^3 + y^3 = (x + y)(Ax^2 + Bxy + Cy^2) $，其中 A、B、C 为待定系数。
2. 展开右边：
$$
(x + y)(Ax^2 + Bxy + Cy^2) = x(Ax^2 + Bxy + Cy^2) + y(Ax^2 + Bxy + Cy^2)
$$
$$
= Ax^3 + Bx^2y + Cxy^2 + Ax^2y + Bxy^2 + Cy^3
$$
3. 合并同类项：
$$
= Ax^3 + (B + A)x^2y + (C + B)xy^2 + Cy^3
$$
4. 与左边对比：
左边为 $ x^3 + y^3 $，即：
$$
x^3 + 0x^2y + 0xy^2 + y^3
$$
5. 比较系数：
- 对于 $ x^3 $：A = 1
- 对于 $ y^3 $：C = 1
- 对于 $ x^2y $：B + A = 0 → B = -1
- 对于 $ xy^2 $：C + B = 0 → 1 + (-1) = 0（成立）
因此，得到：
$$
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
$$
二、
“x³ + y³”是一个立方和表达式，其因式分解形式为：
$$
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
$$
该公式常用于简化多项式运算、解方程或进行代数变形。通过展开与对比系数的方法，可以清晰地推导出这一结果。
三、表格展示
| 表达式 | 因式分解形式 | 说明 |
| x³ + y³ | (x + y)(x² - xy + y²) | 立方和公式，适用于两个变量的立方相加情况 |
| x³ - y³ | (x - y)(x² + xy + y²) | 立方差公式，与立方和公式类似但符号不同 |
通过以上推导与总结，我们可以清楚地看到“x³ + y³”的因式分解方式及其应用背景。这一公式在数学中具有广泛的应用价值，尤其在代数运算中经常被使用。
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