【指数分布概率密度公式】指数分布是概率论与统计学中一种重要的连续型概率分布，常用于描述独立事件发生的时间间隔。例如，电话呼叫到达时间、设备故障时间等都可以用指数分布来建模。其概率密度函数（PDF）是指数分布的核心内容。
一、指数分布的概率密度函数
指数分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）为：
$$
f(x; \lambda) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & \text{当 } x \geq 0 \\
0 & \text{当 } x < 0
\end{cases}
$$
其中：
- $ x $ 是随机变量，表示事件发生的间隔时间；
- $ \lambda $ 是分布的参数，称为速率参数，且 $ \lambda > 0 $；
- $ e $ 是自然对数的底，约等于2.71828。
二、关键性质总结
| 特性 | 内容 |
| 定义域 | $ x \geq 0 $ |
| 参数 | $ \lambda > 0 $（速率参数） |
| 期望值（均值） | $ \frac{1}{\lambda} $ |
| 方差 | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 累积分布函数（CDF） | $ P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x} $ |
| 无记忆性 | 指数分布具有无记忆性，即 $ P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) $ |
三、应用场景
指数分布广泛应用于以下领域：
- 可靠性工程：描述设备或系统的寿命；
- 排队论：模拟顾客到达时间或服务时间；
- 金融学：用于建模某些金融事件的发生时间；
- 生物学：分析生物体内某些过程的时间间隔。
四、示例说明
假设某自助银行的客户到达时间服从指数分布，平均到达时间为5分钟，即 $ \lambda = \frac{1}{5} $。则该分布的概率密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{5} e^{-x/5}, \quad x \geq 0
$$
如果想知道在10分钟内有客户到达的概率，可以计算：
$$
P(X \leq 10) = 1 - e^{-10/5} = 1 - e^{-2} \approx 0.8647
$$
五、总结
指数分布以其简洁的形式和实用的特性，在多个实际问题中被广泛应用。其概率密度函数清晰明了，便于理解和计算。掌握其基本形式和关键性质，有助于更好地应用这一分布模型解决现实中的问题。
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