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向量相乘坐标推导

2025-10-22 04:35:07

问题描述:

向量相乘坐标推导,急!求解答,求不鸽我!

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2025-10-22 04:35:07

向量相乘坐标推导】在向量运算中,向量的乘法主要包括点积(内积)和叉积(外积)两种形式。这两种乘法在数学、物理和工程领域有着广泛的应用。本文将从坐标角度出发,详细推导向量相乘的公式,并通过表格形式进行总结。

一、向量的基本概念

设两个三维向量为:

$$

\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)

$$

其中 $ a_1, a_2, a_3 $ 和 $ b_1, b_2, b_3 $ 分别是向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 在 x、y、z 轴上的分量。

二、点积(内积)的坐标推导

点积的定义为:

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \cos\theta

$$

其中 $ \theta $ 是两向量之间的夹角。

在坐标系中,点积也可以表示为各对应分量的乘积之和:

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$

推导过程:

由于向量可以分解为单位向量的线性组合:

$$

\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}, \quad \vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}

$$

则点积为:

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k})

$$

利用点积的分配律和正交性($\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$, $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ 等),可得:

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$

三、叉积(外积)的坐标推导

叉积的定义为:

$$

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \sin\theta \cdot \hat{n}

$$

其中 $ \hat{n} $ 是垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面的单位向量,方向由右手法则确定。

在坐标系中,叉积可以通过行列式计算:

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2 b_3 - a_3 b_2)\hat{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\hat{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\hat{k}

$$

即:

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

$$

四、总结与对比

运算类型 定义式 坐标表达式 结果性质
点积 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \cos\theta$ $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$ 标量
叉积 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \sin\theta \cdot \hat{n}$ $(a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$ 向量

五、应用举例

- 点积:用于计算力在某一方向上做的功,或判断两向量是否垂直。

- 叉积:用于计算旋转扭矩、面积、法向量等。

通过以上推导可以看出,无论是点积还是叉积,都可以通过向量的坐标分量来直接计算,这使得在实际问题中处理向量运算更加简便和直观。

以上就是【向量相乘坐标推导】相关内容,希望对您有所帮助。

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