在数学的学习过程中，复数是一个重要的知识点，尤其在高中阶段的数学课程中占据着重要地位。复数不仅与实数有密切联系，还具有独特的代数和几何意义。为了帮助学生更好地掌握复数的相关概念和运算规则，下面将提供一些典型的复数练习题，并附上详细的解析过程。
一、基础题型
1. 判断下列各数是否为复数：
- $ 3 + 4i $
- $ \sqrt{-9} $
- $ 5 $
- $ 0 $
解析：
- $ 3 + 4i $ 是一个复数，因为它可以表示为 $ a + bi $ 的形式，其中 $ a = 3 $，$ b = 4 $。
- $ \sqrt{-9} = 3i $，也是复数。
- $ 5 $ 是实数，但实数可以看作是虚部为零的复数，即 $ 5 + 0i $，因此也是复数。
- $ 0 $ 同样可以视为 $ 0 + 0i $，属于复数。
结论： 上述所有数都是复数。
2. 将下列复数写成标准形式 $ a + bi $：
- $ (2 + 3i) + (4 - i) $
- $ (5 - 2i) - (3 + 4i) $
- $ (1 + i)(2 - i) $
解析：
- $ (2 + 3i) + (4 - i) = (2 + 4) + (3i - i) = 6 + 2i $
- $ (5 - 2i) - (3 + 4i) = (5 - 3) + (-2i - 4i) = 2 - 6i $
- $ (1 + i)(2 - i) = 1×2 + 1×(-i) + i×2 + i×(-i) = 2 - i + 2i - i^2 = 2 + i + 1 = 3 + i $
答案：
- $ 6 + 2i $
- $ 2 - 6i $
- $ 3 + i $
二、进阶题型
3. 已知复数 $ z = 1 + i $，求 $ z^2 $ 和 $ |z| $。
解析：
- $ z^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 2×1×i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i $
- 模长公式为 $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $，其中 $ a = 1 $，$ b = 1 $
所以 $ |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
答案：
- $ z^2 = 2i $
- $ |z| = \sqrt{2} $
4. 若复数 $ z = a + bi $ 满足 $ z + \overline{z} = 4 $，且 $ z - \overline{z} = 2i $，求 $ a $ 和 $ b $。
解析：
- 设 $ z = a + bi $，则其共轭复数为 $ \overline{z} = a - bi $
- $ z + \overline{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a = 4 $ ⇒ $ a = 2 $
- $ z - \overline{z} = (a + bi) - (a - bi) = 2bi = 2i $ ⇒ $ 2b = 2 $ ⇒ $ b = 1 $
答案：
- $ a = 2 $
- $ b = 1 $
三、综合应用题
5. 已知复数 $ z_1 = 1 + i $，$ z_2 = 2 - i $，求 $ \frac{z_1}{z_2} $ 的模与辐角。
解析：
- 先计算复数除法：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + i}{2 - i}
$$
分子分母同乘以 $ 2 + i $：
$$
\frac{(1 + i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{2 + i + 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{2 + 3i -1}{4 + 1} = \frac{1 + 3i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i
$$
- 模长：
$$
\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{5} \right)^2 + \left( \frac{3}{5} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{1 + 9}{25} } = \sqrt{ \frac{10}{25} } = \frac{\sqrt{10}}{5}
$$
- 辐角 $ \theta $：
$$
\tan\theta = \frac{3/5}{1/5} = 3 \Rightarrow \theta = \arctan(3)
$$
答案：
- 模长为 $ \frac{\sqrt{10}}{5} $
- 辐角为 $ \arctan(3) $
总结
复数作为数学中的一个重要工具，在多个领域都有广泛应用。通过不断练习复数的加减乘除、共轭、模长和辐角等基本运算，可以加深对复数的理解和运用能力。希望以上练习题和解析能帮助你巩固相关知识，提升解题技巧。
