在数学分析中，泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，它在近似计算和理论研究中具有重要作用。以下是十个常用函数的泰勒展开公式，这些公式在解决实际问题时非常有用。
1. 指数函数 \( e^x \)
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \]
2. 自然对数函数 \( \ln(1+x) \)
当 \( |x| < 1 \) 时，
\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \]
3. 正弦函数 \( \sin(x) \)
\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
4. 余弦函数 \( \cos(x) \)
\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]
5. 幂函数 \( (1+x)^a \)
当 \( |x| < 1 \) 时，
\[ (1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \binom{a}{n} x^n \]
6. 反正切函数 \( \arctan(x) \)
当 \( |x| \leq 1 \) 时，
\[ \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \]
7. 双曲正弦函数 \( \sinh(x) \)
\[ \sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
8. 双曲余弦函数 \( \cosh(x) \)
\[ \cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]
9. 对数函数 \( \ln(1-x) \)
当 \( |x| < 1 \) 时，
\[ \ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots = -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \]
10. 幂函数 \( \frac{1}{1-x} \)
当 \( |x| < 1 \) 时，
\[ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty x^n \]
以上公式在处理微积分、物理、工程等领域的问题时经常被使用。掌握这些公式不仅能够简化复杂的计算，还能帮助我们更好地理解函数的行为。
