高等数学中的极限问题是学习微积分的基础和关键部分。掌握极限的概念及其计算方法，不仅能够帮助我们更好地理解后续的导数、积分等内容，还能提升解决实际问题的能力。本文将精选50道典型的极限习题，并提供详细的分步骤解答，以帮助读者夯实基础。
一、极限的基本概念
在开始具体题目之前，我们先回顾一下极限的核心定义：
设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 的某个去心邻域内有定义，若存在常数 \( A \)，对于任意给定的正数 \( \epsilon > 0 \)，总存在正数 \( \delta > 0 \)，使得当 \( 0 < |x - x_0| < \delta \) 时，恒有 \( |f(x) - A| < \epsilon \)，则称 \( A \) 为函数 \( f(x) \) 当 \( x \to x_0 \) 时的极限，记作：
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) = A
\]
二、典型习题解析
1. 基础计算题
例题 1: 计算 \(\lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 5)\)
解法:
将 \( x = 2 \) 直接代入表达式：
\[
3(2)^2 - 4(2) + 5 = 3 \cdot 4 - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9
\]
因此，\(\lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 5) = 9\).
2. 分式型极限
例题 2: 求 \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)
解法:
利用因式分解公式 \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \)，原式可化简为：
\[
\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}
\]
当 \( x \neq 1 \) 时，约去 \( x-1 \) 得到 \( x+1 \)。因此：
\[
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 1 + 1 = 2
\]
3. 指数与对数结合
例题 3: 求 \(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}\)
解法:
令 \( y = (1 + x)^{\frac{1}{x}} \)，取自然对数得：
\[
\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+x)
\]
利用泰勒展开近似 \(\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)\)，则：
\[
\ln y \approx \frac{1}{x}(x - \frac{x^2}{2}) = 1 - \frac{x}{2}
\]
当 \( x \to 0 \) 时，\(\ln y \to 1\)，故 \( y \to e^1 = e \)。
因此，\(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e\).
三、总结
通过以上三道例题，我们可以看到极限计算中常见的几种类型：直接代入法、因式分解法以及指数对数的处理技巧。希望这些详细的分步骤讲解能帮助大家更深入地理解和掌握极限的相关知识。
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