在高等数学中，洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是一种用于计算不定式极限的重要方法。当函数在某一点处的极限形式为0/0或∞/∞时，洛必达法则为我们提供了一种有效的解决途径。

洛必达法则的基本公式

设函数f(x)和g(x)在x=a处可导，且g'(x)≠0。如果满足以下条件之一：

1. \(\lim_{x \to a} f(x) = 0\) 且 \(\lim_{x \to a} g(x) = 0\)

2. \(\lim_{x \to a} f(x) = ±∞\) 且 \(\lim_{x \to a} g(x) = ±∞\)

那么有：

\[

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

\]

只要右边的极限存在或为无穷大。

应用示例

示例1：求解 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)

这里，当x趋于0时，分子和分母都趋于0，属于0/0型不定式。我们可以使用洛必达法则：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1

\]

因此，\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。

示例2：求解 \(\lim_{x \to ∞} \frac{e^x}{x^2}\)

这里，当x趋于无穷大时，分子和分母都趋于无穷大，属于∞/∞型不定式。同样可以应用洛必达法则：

\[

\lim_{x \to ∞} \frac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to ∞} \frac{e^x}{2x}

\]

继续应用一次洛必达法则：

\[

\lim_{x \to ∞} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x \to ∞} \frac{e^x}{2}

\]

最终得到：

\[

\lim_{x \to ∞} \frac{e^x}{x^2} = ∞

\]

注意事项

1. 洛必达法则仅适用于0/0或∞/∞型不定式。

2. 在每次应用洛必达法则后，需检查新的极限是否存在。

3. 如果连续多次应用后仍未得到明确结果，可能需要尝试其他方法，如等价无穷小替换或泰勒展开。

通过掌握洛必达法则及其应用场景，我们可以更高效地解决复杂的极限问题，从而更好地理解函数的性质与行为。