在数学学习中，一元二次方程是基础且重要的内容之一。它不仅出现在中学阶段的课程中，也是解决实际问题的重要工具。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，下面整理了一份精选的一元二次方程练习题集，供同学们参考和练习。
一、基本概念复习
首先，我们回顾一下一元二次方程的基本形式：
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，且 \(a \neq 0\)。根据判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 的值，可以判断方程的根的情况：
- 当 \(\Delta > 0\)，方程有两个不相等的实数根；
- 当 \(\Delta = 0\)，方程有一个重根；
- 当 \(\Delta < 0\)，方程无实数根（有共轭复数根）。
二、经典例题与解析
题目1：
解方程：\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
解析：
将方程分解因式：
\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]
因此，解得 \(x_1 = 2, x_2 = 3\)。
题目2：
已知方程 \(2x^2 - 3x - 2 = 0\)，求其根。
解析：
利用公式法计算根：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
代入 \(a = 2, b = -3, c = -2\)：
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} \]
\[ x = \frac{3 \pm 5}{4} \]
解得 \(x_1 = 2, x_2 = -\frac{1}{2}\)。
三、综合应用题
题目3：
某工厂生产某种产品的成本函数为 \(C(x) = x^2 - 10x + 24\)（单位：万元），其中 \(x\) 表示产量（单位：百件）。若要使成本最低，应如何确定产量？
解析：
令 \(C'(x) = 0\) 求极值点：
\[ C'(x) = 2x - 10 = 0 \]
解得 \(x = 5\)。
验证 \(C''(x) = 2 > 0\)，说明 \(x = 5\) 是极小值点。
因此，当产量为 5 百件时，成本最低。
四、挑战性题目
题目4：
已知方程 \(x^2 + px + q = 0\) 的两个根分别为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，且满足 \(x_1 + x_2 = 4\)，\(x_1 \cdot x_2 = -5\)。求 \(p\) 和 \(q\) 的值。
解析：
根据韦达定理：
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]
代入条件 \(x_1 + x_2 = 4\) 和 \(x_1 \cdot x_2 = -5\)：
\[ -\frac{p}{1} = 4 \Rightarrow p = -4 \]
\[ \frac{q}{1} = -5 \Rightarrow q = -5 \]
因此，\(p = -4, q = -5\)。
通过以上练习题的训练，相信你对一元二次方程的理解会更加深入。希望这份练习题集能够成为你的学习伙伴，助你在数学之路上更进一步！
