在高中数学的学习过程中，空间向量与立体几何是重要的组成部分，不仅在考试中占据较大比重，也是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的有效途径。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，本文将提供一套精心设计的空间向量与立体几何练习题，并附上详细解答。
一、选择题
1. 已知点A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，则向量AB的坐标为：
A. (3, 3, 3)
B. (-3, -3, -3)
C. (5, 7, 9)
D. (-5, -7, -9)
2. 若向量a = (2, -1, 3)，b = (1, 2, -2)，则向量a·b的结果为：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
3. 设平面方程为x + y + z = 6，则该平面的法向量为：
A. (1, 1, 1)
B. (-1, -1, -1)
C. (1, -1, 1)
D. (-1, 1, -1)
二、填空题
4. 向量(1, 2, 3)与向量(4, 5, 6)的夹角余弦值为________。
5. 平面π1: x + y + z = 3与平面π2: 2x - y + z = 5的交线的方向向量为________。
三、解答题
6. 已知直线l1: x = 2t + 1, y = t - 1, z = 3t + 2和直线l2: x = s + 1, y = 2s + 3, z = -s + 4，判断这两条直线是否平行或相交。
7. 求过点P(1, 2, 3)且垂直于平面π: 2x - y + 3z = 6的直线方程。
答案解析
1. A
向量AB = B - A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)。
2. A
向量a·b = 2×1 + (-1)×2 + 3×(-2) = 2 - 2 - 6 = -6。
3. A
平面的法向量即为平面方程中的系数向量(1, 1, 1)。
4. \(\frac{32}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}}\)
使用公式cosθ = \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)计算。
5. (1, 3, 1)
计算两平面的法向量的叉积即可得到交线的方向向量。
6. 直线l1与l2不平行也不相交，因为它们的方向向量(2, 1, 3)与(1, 2, -1)不成比例，且无公共点。
7. 方程为\(\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-3}{3}\)。
通过以上题目及解析，希望同学们能够更加熟练地运用空间向量解决立体几何问题。练习是巩固知识的最佳方式，希望大家勤加练习，提高解题速度与准确率。
