在数学领域中，绝对值不等式是一种常见的问题类型，其核心在于如何正确处理绝对值符号并求解未知数的范围。本文将针对三类典型的绝对值不等式进行详细解析，帮助大家掌握解题技巧。

第一类：单个绝对值符号的不等式

这类不等式通常表现为 |f(x)| < g(x) 或 |f(x)| > g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 是关于 x 的表达式。解决此类问题的关键在于分段讨论。

例题：解不等式 |x - 3| < 5。

解析：

1. 根据绝对值定义，|x - 3| < 5 可转化为两个不等式组：

- x - 3 < 5

- x - 3 > -5

2. 分别解这两个不等式：

- x < 8

- x > -2

3. 综合结果为 -2 < x < 8。

因此，该不等式的解集为 (-2, 8)。

第二类：多个绝对值符号的不等式

当不等式包含多个绝对值符号时，需要结合区间分析法逐步简化。

例题：解不等式 |x + 1| + |x - 2| ≤ 5。

解析：

1. 确定分界点：x = -1 和 x = 2。

2. 按照分界点划分区间：

- 当 x < -1 时，原不等式变为 -(x + 1) - (x - 2) ≤ 5；

- 当 -1 ≤ x < 2 时，原不等式变为 (x + 1) - (x - 2) ≤ 5；

- 当 x ≥ 2 时，原不等式变为 (x + 1) + (x - 2) ≤ 5。

3. 解每个区间的不等式，并取交集。

最终得到解集为 [-2, 3]。

第三类：嵌套绝对值符号的不等式

这类问题涉及嵌套的绝对值结构，需要通过递归展开逐步化简。

例题：解不等式 ||x - 1| - 2| ≤ 3。

解析：

1. 设 y = |x - 1|，则原不等式变为 |y - 2| ≤ 3。

2. 解得 -1 ≤ y ≤ 5。

3. 将 y = |x - 1| 代入，得到 -1 ≤ |x - 1| ≤ 5。

4. 再次分段讨论，最终解得 x ∈ [-4, 6]。

综上所述，通过分类讨论和递归展开的方法，可以有效解决各种形式的绝对值不等式。希望以上内容能为大家提供实用的帮助！