在数学领域中，线性代数是一门重要的学科，它广泛应用于工程、物理、计算机科学等多个领域。为了帮助大家更好地理解和掌握线性代数的基本概念和解题方法，下面我们将通过一些典型的试题来探讨这门学科的核心知识。
首先，让我们来看一道基础题目：
题目1： 已知矩阵A = [[3, 2], [1, 4]]，求其逆矩阵A⁻¹。
解答过程如下：
要找到矩阵A的逆矩阵A⁻¹，我们首先需要计算矩阵A的行列式det(A)。对于一个2x2矩阵[[a, b], [c, d]]，其行列式的公式为ad - bc。因此，det(A) = (34) - (21) = 12 - 2 = 10。
接下来，使用逆矩阵的公式A⁻¹ = (1/det(A)) adj(A)，其中adj(A)是A的伴随矩阵。对于2x2矩阵[[a, b], [c, d]]，其伴随矩阵为[[d, -b], [-c, a]]。因此，adj(A) = [[4, -2], [-1, 3]]。
将这些值代入公式，得到A⁻¹ = (1/10) [[4, -2], [-1, 3]] = [[0.4, -0.2], [-0.1, 0.3]]。
所以，矩阵A的逆矩阵A⁻¹为[[0.4, -0.2], [-0.1, 0.3]]。
接下来是一道关于向量空间的问题：
题目2： 设向量v₁ = [1, 2, 3]，v₂ = [4, 5, 6]，判断这两个向量是否线性相关。
解答过程如下：
两个向量线性相关的条件是存在不全为零的标量k₁和k₂，使得k₁v₁ + k₂v₂ = 0。我们可以尝试通过线性组合的方式来判断它们是否线性相关。
设k₁v₁ + k₂v₂ = [k₁1 + k₂4, k₁2 + k₂5, k₁3 + k₂6] = [0, 0, 0]。
解这个方程组，我们得到三个方程：
1. k₁ + 4k₂ = 0
2. 2k₁ + 5k₂ = 0
3. 3k₁ + 6k₂ = 0
通过观察可以发现，这三个方程实际上是线性相关的，因此无法唯一确定k₁和k₂的值。实际上，我们可以选择k₁ = -4，k₂ = 1，满足所有方程。
因此，向量v₁和v₂是线性相关的。
最后，我们来看一道涉及特征值和特征向量的问题：
题目3： 已知矩阵B = [[2, 1], [1, 2]]，求其特征值和对应的特征向量。
解答过程如下：
首先，我们需要求解特征值λ，满足det(B - λI) = 0，其中I是单位矩阵。
计算B - λI = [[2-λ, 1], [1, 2-λ]]，其行列式为(2-λ)(2-λ) - 11 = λ² - 4λ + 3。
解方程λ² - 4λ + 3 = 0，得到λ = 1或λ = 3。
接下来，分别求对应于每个特征值的特征向量。
当λ = 1时，解(B - I)v = 0，即[[1, 1], [1, 1]]v = 0，得到特征向量v₁ = [1, -1]（任意倍数）。
当λ = 3时，解(B - 3I)v = 0，即[[-1, 1], [1, -1]]v = 0，得到特征向量v₂ = [1, 1]（任意倍数）。
因此，矩阵B的特征值和对应的特征向量分别为λ₁ = 1，v₁ = [1, -1]；λ₂ = 3，v₂ = [1, 1]。
以上就是今天的线性代数试题及答案，希望对大家的学习有所帮助。通过这些典型例题的练习，大家可以更加深入地理解线性代数的基本概念和解题技巧。
