在日常学习和科研中，数学建模是一种将实际问题转化为数学语言并加以解决的重要手段。它不仅能够帮助我们理解复杂的现实问题，还能通过逻辑推理找到最优解。本文将列举几个简单的数学建模题目，并给出相应的解答，希望能为初学者提供一些启发。
题目一：最佳购物策略
假设你计划购买某种商品，该商品有两种规格：大包装每件售价为50元，可容纳10个单位；小包装每件售价为30元，可容纳6个单位。如果你需要至少80个单位的商品，请问如何选择购买方案才能使总成本最低？
解答：
设购买的大包装数量为 \(x\) 件，小包装数量为 \(y\) 件，则满足以下条件：
- 大包装容量：\(10x + 6y \geq 80\)
- 成本函数：\(C = 50x + 30y\)
为了最小化成本，我们需要尽量减少高价的大包装数量。尝试从最小值开始计算：
- 当 \(x=0\) 时，\(6y \geq 80\)，即 \(y \geq \frac{80}{6} \approx 13.33\)，取整后 \(y=14\)，此时 \(C = 30 \times 14 = 420\)
- 当 \(x=1\) 时，\(10 + 6y \geq 80\)，即 \(6y \geq 70\)，取整后 \(y=12\)，此时 \(C = 50 \times 1 + 30 \times 12 = 410\)
- 当 \(x=2\) 时，\(20 + 6y \geq 80\)，即 \(6y \geq 60\)，取整后 \(y=10\)，此时 \(C = 50 \times 2 + 30 \times 10 = 400\)
- 当 \(x=3\) 时，\(30 + 6y \geq 80\)，即 \(6y \geq 50\)，取整后 \(y=9\)，此时 \(C = 50 \times 3 + 30 \times 9 = 390\)
综上所述，最优解是购买 3件大包装和9件小包装，总成本为 390元。
题目二：旅行路线规划
某人从A地出发前往B地，途中可以选择经过C地或D地。已知：
- A到C的距离为10公里，C到B的距离为20公里；
- A到D的距离为15公里，D到B的距离为15公里；
- 每公里耗油量为0.1升，每升汽油价格为7元。
请问哪种路线更经济？
解答：
分别计算两种路线的总费用：
- 路线1（A→C→B）：总距离为 \(10+20=30\) 公里，总油耗为 \(30 \times 0.1 = 3\) 升，总费用为 \(3 \times 7 = 21\) 元。
- 路线2（A→D→B）：总距离为 \(15+15=30\) 公里，总油耗同样为 \(30 \times 0.1 = 3\) 升，总费用也为 \(3 \times 7 = 21\) 元。
由此可见，无论选择哪条路线，总费用均为 21元。因此，两种路线的成本相同，可根据其他因素如时间或舒适度决定最终路线。
题目三：利润最大化问题
一家工厂生产两种产品X和Y，每种产品的单位利润分别为5元和8元。生产一件X需要2小时人工和3单位原材料，生产一件Y需要4小时人工和2单位原材料。现有工人每天工作时间为8小时，原材料总量为24单位。问如何安排生产才能获得最大利润？
解答：
设生产X的数量为 \(x\) 件，生产Y的数量为 \(y\) 件，则满足以下约束条件：
- 人工限制：\(2x + 4y \leq 8\)
- 原材料限制：\(3x + 2y \leq 24\)
- 非负性：\(x \geq 0, y \geq 0\)
目标函数为总利润 \(P = 5x + 8y\)。
通过线性规划方法求解，可以得到最优解为：
- \(x=4, y=1\)，此时 \(P = 5 \times 4 + 8 \times 1 = 28\) 元。
因此，应生产 4件X和1件Y，以实现最大利润 28元。
以上三个题目展示了数学建模的基本思路与应用，希望读者能够在实践中不断探索和创新！
