【行列式的性质是什么】行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于判断矩阵是否可逆、计算解的唯一性等。了解行列式的性质有助于更深入地理解其在数学和应用中的作用。以下是对行列式主要性质的总结，并以表格形式进行展示。
一、行列式的性质总结
1. 行列式与矩阵转置的关系
行列式的值与其转置矩阵的行列式相等。即：
$$
\det(A) = \det(A^T)
$$
2. 交换两行（或两列）后行列式变号
若交换矩阵的任意两行或两列，则行列式的值变为原来的相反数。
3. 某一行（或列）全为零时，行列式为零
如果矩阵中存在一行或一列全为零，则该行列式的值为零。
4. 两行（或两列）完全相同，行列式为零
当矩阵中有两行或两列完全相同时，行列式的值为零。
5. 行列式与数乘关系
若将矩阵的一行（或一列）乘以一个常数 $k$，则行列式的值也乘以 $k$。
6. 行列式可以按行（或列）展开
可以通过余子式展开的方式计算行列式的值，例如按第一行展开。
7. 行列式与矩阵乘法的关系
对于两个同阶方阵 $A$ 和 $B$，有：
$$
\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)
$$
8. 行列式与逆矩阵的关系
若矩阵 $A$ 可逆，则其行列式不为零；反之，若 $\det(A) \neq 0$，则 $A$ 可逆。
9. 行列式与相似矩阵的关系
相似矩阵具有相同的行列式值。
10. 行列式与特征值的关系
方阵的行列式等于其所有特征值的乘积。
二、行列式的性质表格总结
| 序号 | 性质描述 | 数学表达 |
| 1 | 行列式与转置相等 | $\det(A) = \det(A^T)$ |
| 2 | 交换两行（列）变号 | $\det(A') = -\det(A)$（交换两行/列） |
| 3 | 某行（列）全为0，行列式为0 | $\det(A) = 0$（存在全零行/列） |
| 4 | 两行（列）相同，行列式为0 | $\det(A) = 0$（两行/列相同） |
| 5 | 某行（列）乘以k，行列式乘以k | $\det(kA_i) = k \cdot \det(A)$ |
| 6 | 行列式可按行（列）展开 | $\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$ |
| 7 | 矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积 | $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ |
| 8 | 可逆矩阵行列式非零 | $\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A$ 可逆 |
| 9 | 相似矩阵行列式相等 | $\det(P^{-1}AP) = \det(A)$ |
| 10 | 行列式等于特征值的乘积 | $\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$ |
通过以上性质，我们可以更灵活地处理行列式的计算与应用问题。这些性质不仅帮助我们简化运算，也为后续的线性代数理论打下坚实的基础。
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