【高中数学期望公式】在高中数学中，期望是一个重要的概率概念，常用于描述随机变量在长期试验中的平均结果。无论是离散型还是连续型随机变量，期望都为我们提供了一种衡量“平均值”的方式。本文将对高中阶段常见的期望公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、期望的基本概念
期望（Expectation）是概率论中的一个重要概念，表示一个随机变量在大量重复试验中所取值的平均结果。数学上，期望可以看作是对随机事件未来可能结果的一种加权平均。
二、期望的计算公式
1. 离散型随机变量的期望
设随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则期望公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的期望公式
以下是一些在高中数学中常见的概率分布及其对应的期望公式：
| 分布名称 | 概率质量函数 / 密度函数 | 期望公式 |
| 两点分布 | $ P(X = 1) = p $, $ P(X = 0) = 1-p $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 超几何分布 | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ |
四、期望的性质
在高中数学中，期望具有以下几个重要性质：
1. 线性性：
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数。
2. 期望的可加性：
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立变量的期望乘积：
若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则：
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
五、应用举例
例题：某次考试中，小明答对一题的概率是 0.8，答错的概率是 0.2。如果他答对一题得 5 分，答错不得分，求他答一题所得分数的期望。
解：
设随机变量 $ X $ 表示得分，可能取值为 5 或 0，对应的概率分别为 0.8 和 0.2。
所以：
$$
E(X) = 5 \times 0.8 + 0 \times 0.2 = 4
$$
因此，小明答一题所得分数的期望为 4 分。
六、总结
期望是高中数学中一个非常实用的概念，广泛应用于概率统计问题中。通过对不同分布的期望公式进行掌握，可以更好地理解随机变量的平均表现。同时，期望的线性性质和可加性也为复杂问题的求解提供了便利。
| 内容 | 说明 |
| 期望定义 | 随机变量在长期试验中的平均值 |
| 离散型期望公式 | $ E(X) = \sum x_i \cdot p_i $ |
| 连续型期望公式 | $ E(X) = \int x \cdot f(x) \, dx $ |
| 常见分布期望 | 两点、二项、超几何、均匀、正态等 |
| 期望性质 | 线性性、可加性、独立乘积性质 |
| 应用实例 | 计算得分、收益、风险等 |
通过以上内容的学习，学生可以更加系统地掌握高中数学中关于期望的知识点，并灵活运用到实际问题中。
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