【等比数列通项公式应用习题】在学习等比数列的过程中，掌握其通项公式的应用是非常重要的。等比数列的通项公式为：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。
为了帮助同学们更好地理解和应用这个公式，以下是一些典型的应用习题及其解答，以加表格的形式呈现，便于复习和查阅。
一、基础应用题
题目1：
已知一个等比数列的首项为3，公比为2，求第5项是多少？
解析：
根据通项公式：
$$ a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48 $$
答案： 第5项是48。
题目2：
已知等比数列中，第二项为12，第四项为48，求公比和首项。
解析：
设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，则有：
$$ a_2 = a_1 \cdot r = 12 $$
$$ a_4 = a_1 \cdot r^3 = 48 $$
将第一个式子代入第二个式子：
$$ (a_1 \cdot r) \cdot r^2 = 12 \cdot r^2 = 48 $$
$$ r^2 = 4 \Rightarrow r = 2 $$（取正数）
代入得：
$$ a_1 \cdot 2 = 12 \Rightarrow a_1 = 6 $$
答案： 公比为2，首项为6。
题目3：
已知等比数列中，第三项为27，第五项为243，求第七项。
解析：
设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $，则有：
$$ a_3 = a_1 \cdot r^2 = 27 $$
$$ a_5 = a_1 \cdot r^4 = 243 $$
将第一个式子代入第二个式子：
$$ (a_1 \cdot r^2) \cdot r^2 = 27 \cdot r^2 = 243 $$
$$ r^2 = 9 \Rightarrow r = 3 $$
代入得：
$$ a_1 \cdot 9 = 27 \Rightarrow a_1 = 3 $$
因此，第七项为：
$$ a_7 = 3 \cdot 3^{6} = 3 \cdot 729 = 2187 $$
答案： 第七项是2187。
二、综合应用题
题目4：
某公司每年利润增长率为5%，第一年利润为100万元，问第10年的利润是多少？
解析：
这是一个等比数列问题，首项 $ a_1 = 100 $，公比 $ r = 1.05 $，求第10项：
$$ a_{10} = 100 \cdot (1.05)^{9} \approx 100 \cdot 1.5513 = 155.13 $$
答案： 第10年的利润约为155.13万元。
题目5：
一个等比数列的前3项分别为2，6，18，求第6项。
解析：
公比 $ r = 6/2 = 3 $，首项 $ a_1 = 2 $，则：
$$ a_6 = 2 \cdot 3^{5} = 2 \cdot 243 = 486 $$
答案： 第6项是486。
三、答案汇总表
| 题号 | 题目描述 | 解答过程 | 答案 |
| 1 | 首项3，公比2，求第5项 | $ a_5 = 3 \cdot 2^{4} = 48 $ | 48 |
| 2 | 第二项12，第四项48，求公比与首项 | $ r=2, a_1=6 $ | 公比2，首项6 |
| 3 | 第三项27，第五项243，求第七项 | $ a_7 = 3 \cdot 3^6 = 2187 $ | 2187 |
| 4 | 第一年利润100万，年增长率5%，求第10年利润 | $ a_{10} = 100 \cdot 1.05^9 \approx 155.13 $ | 155.13万元 |
| 5 | 前3项为2，6，18，求第6项 | $ a_6 = 2 \cdot 3^5 = 486 $ | 486 |
通过以上练习，可以加深对等比数列通项公式的理解，并灵活应用于实际问题中。建议多做类似题目，巩固基础知识。
以上就是【等比数列通项公式应用习题】相关内容，希望对您有所帮助。
