【线性代数考试题库及答案(三)(7页)】在学习线性代数的过程中，掌握扎实的基础知识和解题技巧至关重要。为了帮助学生更好地复习和巩固所学内容，本文提供一份精心整理的线性代数考试题库及详细解答，涵盖多个典型题型，适合用于课后练习或考前冲刺。
本部分内容为系列中的第三部分，共包含7页内容，题目类型包括选择题、填空题、计算题以及证明题，全面覆盖矩阵运算、行列式、向量空间、特征值与特征向量等核心知识点。
一、选择题（每题3分）
1. 若矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则其行列式的值为：
A. -2
B. 2
C. 5
D. 10
答案：A
2. 设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的可逆矩阵，则以下说法正确的是：
A. $ A $ 的秩小于 $ n $
B. $ A $ 的列向量线性无关
C. $ A $ 的行向量线性相关
D. $ A $ 的行列式为零
答案：B
二、填空题（每空2分）
1. 矩阵 $ B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $ 的逆矩阵为 ____________。
答案： $ \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} $
2. 向量组 $ \alpha_1 = (1, 2, 3), \alpha_2 = (2, 4, 6) $ 的线性相关性为 ____________。
答案： 线性相关
三、计算题（每题10分）
1. 计算矩阵 $ C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $ 的行列式。
解：
利用行列式的展开法则，或者观察该矩阵是否为奇异矩阵。由于第三行是第一行加上第二行的两倍，因此该矩阵的行列式为 0。
答案： 0
2. 求矩阵 $ D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ 的特征值。
解：
特征方程为 $ \det(D - \lambda I) = 0 $，即：
$$
\det\left( \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{bmatrix} \right) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 = 0
$$
展开得：
$$
\lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0
$$
解得：
$$
\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}
$$
答案： $ \lambda = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2} $
四、证明题（10分）
设 $ A $ 是一个对称矩阵，且 $ A $ 可逆，证明：$ A^{-1} $ 也是对称矩阵。
证明：
因为 $ A $ 是对称矩阵，所以 $ A^T = A $。又因为 $ A $ 可逆，所以 $ A^{-1} $ 存在。
考虑 $ (A^{-1})^T $，根据逆矩阵的性质有：
$$
(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1}
$$
因此，$ A^{-1} $ 是对称矩阵。
总结
本部分题库涵盖了线性代数的核心概念与常见题型，通过系统的练习可以有效提升解题能力与逻辑思维水平。建议考生在做题过程中注重理解每个步骤背后的数学原理，避免死记硬背。同时，结合教材与课堂笔记进行综合复习，才能在考试中取得理想成绩。
如需更多练习题或详细解析，请继续关注后续章节。
